数学掲示板




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[556] Re: 微分法について。

投稿者: 壊れた扉 投稿日:2018年 2月19日(月)22時42分2秒 p500103-ipngn13101marunouchi.tokyo.ocn.ne.jp  通報   返信・引用 > No.555[元記事へ]

> 次の問題の185番がわかりません。教えていただけると幸いです。

コルムさん、久しぶりですね。コルムさんは今年はもう受験されたんですか。(以前に受験すると言ってましたよね。)

問題
f(x)=(x-1)(x^2-5)と置く。2つの曲線y=f(x),y=f(x-k)が共有点を持ち、その共有点におけるy=f(x)の接線とy=f(x-k)の接線が一致するような0でない実数kの値を求めよ。

解答
与式を展開すると、f(x)=x^3-x^2-5x+5,またこれにx=x-kとして代入すると、f(x-k)=(x-k)^3-(x-k)^2-5(x-k)+5=x^3-(3k+1)x^2+(3k^2+2k-5)x-k^3-k^2+5k+5
また、f(x)=x^3-x^2-5x+5をxで微分すると、f'(x)=3x^2-2x-5 f(x-k)=x^3-(3k+1)x^2+(3k^2+2k-5)x-k^3-k^2+5k+5をxで微分すると、f'(x-k)=3x^2-2(3k+1)x+3k^2+2k-5
ここで、共有点のx座標をpとすると、f(p)=f(x-p),f'(p)=f'(x-p)
∴p^3-p^2-5p+5=p^3-(3k+1)p^2+(3k^2+2k-5)p-k^3-k^2+5k+5
∴3kp^2-k(3k+2)p+k(k^2+k-5)=0 k≠0より、3p^2-(3k+2)p+k^2+k-5=0―――①
また、3p^2-2p-5=3p^2-2(3k+1)p+3k^2+2k-5 ∴6kp-3k^2-2k=0 k≠0より、6p-3k-2=0―――②
②より、p=(3k+2)/6 これを①に代入すると、3{(3k+2)/6}^2-(3k+2){(3k+2)/6}+k^2+k-5=0 ∴(3k+2)^2/12-(3k+2)^2/6+k^2+k-5=0
∴(3k+2)^2-2(3k+2)^2+12(+k^2+k-5)=0 ∴-(3k+2)^2+12k^2+12k-60=0 ∴-(9k^2+12k+4)+12k^2+12k-60=0
∴3k^2-64=0 ∴k^2=64/3 ∴k=±8/√3 ∴k=±8√3/3




[555] 微分法について。

投稿者: コルム 投稿日:2018年 2月19日(月)20時27分13秒 softbank060090190158.bbtec.net  通報   返信・引用

次の問題の185番がわかりません。教えていただけると幸いです。



[554] Re. 数列について。

投稿者: コルム 投稿日:2018年 2月19日(月)20時26分26秒 softbank060090190158.bbtec.net  通報   返信・引用

ありがとうございました。



[553] Re: 数列について。

投稿者: 壊れた扉 投稿日:2018年 2月12日(月)20時30分37秒 p500103-ipngn13101marunouchi.tokyo.ocn.ne.jp  通報   返信・引用 > No.549[元記事へ]

> 次の259番がわかりません。教えていただけると幸いです。

今回は(4)ですね。

問題
{an},{bn}をa0=b0=a100=b100=0を満たす数列とする。
(1)Σ(k=1~99)ak+1bk=Σ(k=1~99)akbk-1を示せ。
(2)Σ(k=1~99)(2ak-ak+1-ak-1)bk=Σ(k=1~99)ak(2bk-bk+1-bk-1)を示せ。
(3)kを整数とし、θを実数とする。
2sinkθ-sin(k+1)θ-sin(k-1)θ=4sin^2(θ/2)sinkθを示せ。
(4)i,jを1≦i<j≦99を満たす自然数とし、ak,bkをak=sinkθ1,bk=sinkθ2,θ1=iπ/100,θ2=jπ/100と置く。この時、Σ(k=1~99)akbkを求めよ。

解答
(4)ak=sinkθ1,bk=sinkθ2を(2)の結果に代入すると、Σ(k=1~99){2sinkθ1-sin(k+1)θ1-sin(k-1)θ1}sinkθ2=Σ(k=1~99)sinkθ1{2sinkθ2-sin(k+1)θ2-sin(k-1)θ2}―――☆
(3)の結果より、☆の左辺=Σ(k=1~99)4sin^2(θ1/2)sinkθ1・sinkθ2 右辺=Σ(k=1~99)4sin^2(θ2/2)sinkθ2・sinkθ1
∴Σ(k=1~99)4sin^2(θ1/2)・sinkθ1・sinkθ2=Σ(k=1~99)4sin^2(θ2/2)・sinkθ1・sinkθ2
∴4{sin^2(θ1/2)-sin^2(θ2/2)}Σ(k=1~99)sinkθ1・sinkθ2=0 ∴4{sin(θ1/2)+sin(θ2/2)}{sin(θ1/2)-sin(θ2/2)}Σ(k=1~99)sinkθ1・sinkθ2=0
ところで、i,jは1≦i<j≦99を満たす自然数,θ1=iπ/100,θ2=jπ/100より、0<θ1<θ2<π ∴0<θ1/2<θ2/2<π/2
よって、sin(θ1/2)+sin(θ2/2)>0よりsin(θ1/2)+sin(θ2/2)≠0,また、θ1/2≠θ2/2よりsin(θ1/2)-sin(θ2/2)≠0
∴Σ(k=1~99)sinkθ1・sinkθ2=0 ∴Σ(k=1~99)akbk=0



[552] Re: 数列について。

投稿者: 壊れた扉 投稿日:2018年 2月12日(月)18時27分11秒 p500103-ipngn13101marunouchi.tokyo.ocn.ne.jp  通報   返信・引用

> 次の259番がわかりません。教えていただけると幸いです。

今回は(3)をやりましょう。

問題
{an},{bn}をa0=b0=a100=b100=0を満たす数列とする。
(1)Σ(k=1~99)ak+1bk=Σ(k=1~99)akbk-1を示せ。
(2)Σ(k=1~99)(2ak-ak+1-ak-1)bk=Σ(k=1~99)ak(2bk-bk+1-bk-1)を示せ。
(3)kを整数とし、θを実数とする。
2sinkθ-sin(k+1)θ-sin(k-1)θ=4sin^2(θ/2)sinkθを示せ。
(4)i,jを1≦i<j≦99を満たす自然数とし、ak,bkをak=sinkθ1,bk=sinkθ2,θ1=iπ/100,θ2=jπ/100と置く。この時、Σ(k=1~99)akbkを求めよ。

解答
(3)和と積の公式より、sinA+sinB=2sin{(A+B)/2}cos{(A-B)/2}http://examist.jp/mathematics/trigonometric/sekiwa-waseki/を使うと、
左辺=2sinkθ-{sin(k+1)θ+sin(k-1)θ}=2sinkθ-2sinkθ・cosθ=2sinkθ(1-cosθ)
ここで、半角の公式sin^2(θ/2)=(1-cosθ)/2 http://examist.jp/mathematics/trigonometric/baikaku-hankaku/を使うと、
=2sinkθ・2sin^2(θ/2)=4sin^2(θ/2)・sinkθ=右辺
よって、左辺=右辺で示された。



[551] Re: 数列について。

投稿者: 壊れた扉 投稿日:2018年 2月12日(月)07時35分44秒 p500103-ipngn13101marunouchi.tokyo.ocn.ne.jp  通報   返信・引用 > No.549[元記事へ]

> 次の259番がわかりません。教えていただけると幸いです。

今回は(2)ですね。

問題
{an},{bn}をa0=b0=a100=b100=0を満たす数列とする。
(1)Σ(k=1~99)ak+1bk=Σ(k=1~99)akbk-1を示せ。
(2)Σ(k=1~99)(2ak-ak+1-ak-1)bk=Σ(k=1~99)ak(2bk-bk+1-bk-1)を示せ。
(3)kを整数とし、θを実数とする。
2sinkθ-sin(k+1)θ-sin(k-1)θ=4sin^2(θ/2)sinkθを示せ。
(4)i,jを1≦i<j≦99を満たす自然数とし、ak,bkをak=sinkθ1,bk=sinkθ2,θ1=iπ/100,θ2=jπ/100と置く。この時、Σ(k=1~99)akbkを求めよ。

解答
(2)左辺=Σ(k=1~99)(2ak-ak+1-ak-1)bk=2Σ(k=1~99)akbk-Σ(k=1~99)ak+1bk-Σ(k=1~99)ak-1bk―――①
右辺=Σ(k=1~99)ak(2bk-bk+1-bk-1)=2Σ(k=1~99)akbk-Σ(k=1~99)akbk+1-Σ(k=1~99)akbk-1=2Σ(k=1~99)akbk-Σ(k=1~99)akbk+1-Σ(k=1~99)ak+1bk((1)より)―――②
ここで、(1)と同様に、
Σ(k=1~99)ak-1bk=a0b1+a1b2+・・・・+a97b98+a98b99=a1b2+a2b3+・・・・+a98b99(a0=0より)―――(ア)
Σ(k=1~99)akbk+1=a1b2+a2b3+・・・・+a98b99+a99b100=a1b2+a2b3+・・・・+a98b99(b100=0より)―――(イ)
(ア),(イ)より、Σ(k=1~99)ak-1bk=Σ(k=1~99)akbk+1―――③
①,②,③より、左辺=右辺 よって、示された。



[550] Re: 数列について。

投稿者: 壊れた扉 投稿日:2018年 2月11日(日)22時16分32秒 p500103-ipngn13101marunouchi.tokyo.ocn.ne.jp  通報   返信・引用

> 次の259番がわかりません。教えていただけると幸いです。

1つずつやりましょう。

問題
{an},{bn}をa0=b0=a100=b100=0を満たす数列とする。
(1)Σ(k=1~99)ak+1bk=Σ(k=1~99)akbk-1を示せ。
(2)Σ(k=1~99)(2ak-ak+1-ak-1)bk=Σ(k=1~99)ak(2bk-bk+1-bk-1)を示せ。
(3)kを整数とし、θを実数とする。
2sinkθ-sin(k+1)θ-sin(k-1)θ=4sin^2(θ/2)sinkθを示せ。
(4)i,jを1≦i<j≦99を満たす自然数とし、ak,bkをak=sinkθ1,bk=sinkθ2,θ1=iπ/100,θ2=jπ/100と置く。この時、Σ(k=1~99)akbkを求めよ。

解答
(1)左辺=Σ(k=1~99)ak+1bk=a2b1+a3b2+・・・・+a99b98+a100b99=a2b1+a3b2+・・・・+a99b98(a100=0より)―――①
   右辺=Σ(k=1~99)akbk-1=a1b0+a2b1+・・・・+a98b97+a99b98=a2b1+a3b2+・・・・+a99b98(b0=0より)―――②
  ①,②より、左辺=右辺 よって、示された。



[549] 数列について。

投稿者: コルム 投稿日:2018年 2月11日(日)16時43分32秒 softbank060090190158.bbtec.net  通報   返信・引用

次の259番がわかりません。教えていただけると幸いです。



[548] Re. 整数について。

投稿者: コルム 投稿日:2018年 2月11日(日)16時38分45秒 softbank060090190158.bbtec.net  通報   返信・引用

ありがとうございました。



[547] Re: 整数について。

投稿者: 壊れた扉 投稿日:2018年 2月10日(土)18時48分32秒 p500103-ipngn13101marunouchi.tokyo.ocn.ne.jp  通報   返信・引用 > No.545[元記事へ]

> 次の66番がわかりません。教えていただけると幸いです。

問題
nを4以上の自然数とする。数2,12,1331がすべてn進法で表記されているとして、2^12=1331が成り立っている。この時nはいくつか。10進法で答えよ。

解法2
n進法の数を、例えばn進法の2は2_nと表す事にすると、2_n=2(10進法の2),12_n=n^1+2=n+2,1331_n=n^3+3n^2+3n^1+1=n^3+3n^2+3n+1
http://examist.jp/mathematics/integer/kisuuhou-henkan/
ここで、条件より、(2_n)^(12_n)=1331_n ∴2^(n+2)=n^3+3n^2+3n+1=(n+1)^3 ∴2^(n+2)=(n+1)^3―――①までは解法1と同じ。

n≧4より、
n=4の時、左辺=2^6=64,右辺=5^3=125で成り立たない。
n=5の時、左辺=2^7=128。右辺=6^3=216で成り立たない。
n=6の時、左辺=2^8=256,右辺=7^3=343で成り立たない。
n=7の時、左辺=2^9=512,右辺=8^3=512で成り立つ。

n≧8の時、2^(n+2)>(n+1)^3となる事を数学的帰納法で証明する。
(ⅰ)n=8の時、2^10=1024,9^3=729より、1024>729で成り立つ。
(ⅱ)n=kの時成り立つと仮定すると、2^(k+2)>(k+1)^3―――(ア)
n=k+1の時、2^(k+3)=2・2^(k+2)>2・(k+1)^3((ア)より)―――(イ)
2(k+1)^3-(k+2)^3=2(k^3+3k^2+3k+1)-(k^3+6k^2+12k+8)=k^3-6k-6=k(k^2-6)-6≧8(8^2-6)-6>0(k≧8より)
∴2(k+1)^3>(k+2)^3―――(ウ) (イ),(ウ)より、2^(k+3)>(k+2)^3
よって、n=k+1の時も成り立つ。
(ⅰ),(ⅱ)より、数学的帰納法により、n≧8の時、2^(n+2)>(n+1)^3となる。

よって、答えは、n=7のみ。


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